指数分布

以下を参考にしました。 https://mathtrain.jp/expdistribution # 分布 $f(x) = \frac{ exp(-\frac{x}{\mu}) }{ \mu} , x>0$ 期待値 $\mu$ 分散 $\mu^2$ # 使われ方 指数分布は「ある現象がある回数発生するまでの期間の長さ」に関する分布に対して用いることが多い。 理由は以下に書く「導出方法」を参照せよ。 ちなみに「ある一定期間に発生するある現象の回数」に関する分布に対してはポアソン分布が有名。 # 導出方法 $f(x)$ を時期 $x$ において初めて発生確率の密度関数とする。 定義より$x $ から$x+\delta x$ の間に初めて事象が発生する確率は$f(x)\delta x$と考えられる。 一方で上記の確率は、 (時刻 $x$ までイベントが起こらない確率）$\times$（それから $\delta x$の間に起こる確率） であり、時期によらず、考慮期間に比例して発生する確率が上がるとすれば $(1 - \int_0^xf(x)dx)\times \lambda \delta x$ と考えられる。($\lambda$は比例定数とする。) よって $(1 - \int_0^xf(x)dx)\times \lambda = f(x)$ という積分方程式を得る。 この式を両辺 $x$で微分すると、 $-\lambda f(x) = f'(x)$ これを解くと $ f(x) = Ce^{-\lambda x }$ で積分して 1 になるとすれば、 $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x }$ となり、$\lambda = \frac{1}{\mu} $ となることがわかる。