酒井隆 リーマン幾何学 p57 より
x1,...,xm を正規座標とする。つまり原点で正規直行な基底から exp マップで座標付けられたもの。
このときリーマン計量は以下のように展開できる。
gij(x1,...,xm)=δij+13Rikjl(p)xkxl+O(||x||3)
ここで
Rijkl=g(R(∂∂xi,∂∂xj)∂∂xk,∂∂xl)
R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]Z
二次元の場合、ガウス曲率は R2211 となる。
また R は三つ以上の添え字が同じ場合、 0 となる。
以上より、負曲率の場合、
g12 がマイナスの修正、 g11, g22 がプラスの修正を受けることがわかる。
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