断面曲率

酒井隆　リーマン幾何学 p57 より $ x^1, ..., x^m $ を正規座標とする。つまり原点で正規直行な基底から exp マップで座標付けられたもの。
このときリーマン計量は以下のように展開できる。 \begin{align} g_{ij}(x^1, ..., x^m) = \delta_{ij} + \frac{1}{3}R_{ikjl}(p)x^kx^l + O( ||x||^3 ) \end{align} ここで \begin{align} R_{ijkl} = g( R( \frac{\partial }{\partial x_i}, \frac{\partial }{\partial x_j} ) \frac{\partial }{\partial x_k}, \frac{\partial }{\partial x_l} ) \end{align} \begin{align} R( X, Y)Z = \nabla_X \nabla_YZ - \nabla_Y \nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z \end{align} 二次元の場合、ガウス曲率は $ R_{2211} $ となる。 また R は三つ以上の添え字が同じ場合、 0 となる。
以上より、負曲率の場合、
$g_{12}$ がマイナスの修正、 $g_{11}$, $g_{22}$　がプラスの修正を受けることがわかる。