断面曲率

酒井隆　リーマン幾何学 p57 より $ x^1, ..., x^m $ を正規座標とする。つまり原点で正規直行な基底から exp マップで座標付けられたもの。
このときリーマン計量は以下のように展開できる。 \begin{align} g_{ij}(x^1, ..., x^m) = \delta_{ij} + \frac{1}{3}R_{ikjl}(p)x^kx^l + O( ||x||^3 ) \end{align} ここで \begin{align} R_{ijkl} = g( R( \frac{\partial }{\partial x_i}, \frac{\partial }{\partial x_j} ) \frac{\partial }{\partial x_k}, \frac{\partial }{\partial x_l} ) \end{align} \begin{align} R( X, Y)Z = \nabla_X \nabla_YZ - \nabla_Y \nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z \end{align} 二次元の場合、ガウス曲率は $ R_{2211} $ となる。 また R は三つ以上の添え字が同じ場合、 0 となる。
以上より、負曲率の場合、
$g_{12}$ がマイナスの修正、 $g_{11}$, $g_{22}$　がプラスの修正を受けることがわかる。

直積測度について

動機
progressive process と stopping time の合成関数の可測性について気になるところがあったのでこのようなメモを残した。

前提
$ (W,\mu),(T,\mu_1) $ を完備測度空間とし、 \begin{align} f : W \to T, \end{align} \begin{align} id : W \to W \end{align} と可測関数がある場合に、(id は恒等写像とする） \begin{align} (f,id) : W \to T \times W \end{align} が可測であることを示したい。 ただし \begin{align} (T \times W, \mu_3) \end{align} は直積測度を完備化したものとする。

証明
完備化していない場合はよいとする。
完備化した場合を示したい。
\begin{align} \pi_1 : T \times W \to T \end{align} \begin{align} \pi_2 : T \times W \to W \end{align} を射影とすると、 「ルベーグ積分論入門　伊藤清三」より　$T \times W $ 上の集合 E が、$\mu_3(E) = 0 $ となるとき、 \begin{align} \pi_1(E) = T_1 + T_2 \end{align} \begin{align} \pi_2(E) = W_1 + W_2 \end{align} というようにそれぞれの可測集合の直和に分けられ、 \begin{align} \mu_1(T_2) = 0, \forall t_1 \in T_1, \mu( E_t ) = 0 \end{align} \begin{align} \mu(W_2) = 0, \forall w_1 \in W_1, \mu_1( E_w ) = 0 \end{align} がなりたつ。 ここで $E_t$ は以下のように定義されたものである。 \begin{align} E_t = \{ w | (t,w) \in E \}, E_w = \{ t | (t,w) \in E \} \end{align} このとき \begin{align} (f,id)^{-1}(E) = ( f^{-1}(T_1) + f^{-1}(T_2) ) \cap ( W_1 + W_2 ) \end{align} となる。よって、f の可測性より上記は可測集合となることがわかる。

補足
$W_2$ との共通部分は測度が 0 になるが $W_1$ との共通部分は一般に測度は 0 とはならない。
$ f^{-1}(T_1)$ も $T_1$ の一つ一つの要素については零集合となるが、 一般に $T_1$ は非可算なために零集合とは限らない。

doob decompositon

doob分解について、「Diffusions,marcov processes and martingales vol2」,D. Williams
を読む。

かなり時間をかけたつもりだけれどもまだまだ。。
conditional expectation についてはだいぶ馴染んできた。
p 347 の 「dual Previsible Projections」 のところがわからないとダメらしいというところまで。
これがどうやら doob meyer 分解の肝だと理解。